Skip to main content

1.1 Inledning till derivata

  • Innehåll:
  • Derivatans definition (översiktligt).
  • Derivatan av $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ och $\tan x$.
  • Derivata av summa och differens.
  • Tangent och normal till kurvor.
  • Lärandemål:
  • Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
  • Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y = f(x)$ i punkten $x = a$.
  • Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (t.ex. fart, prisökning).
  • Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. $f(x) = |x|$ i $x = 0$).
  • Kunna derivera $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$, $\tan x$ samt summor/differenser.
  • Kunna bestämma tangent och normal till kurvan $y = f(x)$.
  • Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)$ och $\frac{df}{dx}(x)$.

Inledning

FöNär man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde $y$ ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet $x$.

Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt $P$, tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt $Q$ i närheten av $P$ och bildar ändringskvoten mellan $P$ och $Q$:ndringskvoten:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)\text{skillnad i } y\text{- f(x)led}}{h}\text{skillnad i } x\text{-led}} $$

Om vi låter $Q$ närma sig $P$ (dvs. låter $h \to 0$) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten $P$. Vi kallar detta värde för derivatan av $f(x)$ i punkten $P$, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av $f(x)$ i punkten $P$.

Derivatan av en funktion $f(x)$ betecknas $f'(x)$ och kan formellt definieras så här:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

Olika symboler för derivatan:

FunktionDerivata
$f(x)$$f'(x)$
$y$$y'$
$y$$\frac{dy}{dx}$
$s(t)$$s'(t)$

Derivatans tecken

  • $f'(x) > 0$ (positiv lutning) → $f(x)$ är växande.
  • $f'(x) < 0$ (negativ lutning) → $f(x)$ är avtagande.
  • $f'(x) = 0$ → $f(x)$ är stationär (horisontell tangent).

Exempel 3

$f(2) = 3$ betyder att funktionens värde är 3 när $x = 2$.
$f'(2) = 3$ betyder att derivatan är 3 när $x = 2$, alltså att grafens lutning där är 3.

Exempel 4

I figuren kan man utläsa att $f(a)' = 0$, $f(b)' = 0$ ... $f(g)' = 0$.

Exempel 5

Temperaturen i en termos beskrivs av funktionen $T(t)$, där $t$ är minuter:

  • $T(10) = 80$ → efter 10 minuter är temperaturen 80°
  • $T'(2) = -3$ → temperaturen sjunker med 3°/min vid $t=2$

Exempel 6

Funktionen $f(x) = |x|$ saknar derivata vid $x = 0$. Grafen har ett hörn där.

Deriveringsregler

Om $f(x) = x^2$:

$$ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h $$

När $h \to 0$ får vi att derivatan är $2x$.

Standardderivator

  • $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
  • $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
  • $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
  • $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
  • $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
  • $\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

Exempel 7–13 (utdrag i samma stil)

Varje exempel visas med funktion och dess derivata.

Exempel 14

Kurvan $y = 2e^x - 3x$ har en tangent med riktningskoefficient $-1$. Vi hittar tangenten:

Derivatan: $f'(x) = 2e^x - 3$.
Sätt $f'(x) = -1$:

$$ 2e^x - 3 = -1 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0 $$

Vid $x = 0$: $f(0) = 2e^0 - 3\cdot 0 = 2$, alltså tangeringspunkten är $(0, 2)$.

Back to top