Skip to main content

1.1 Inledning till derivata

  • Innehåll:

  • Derivatans definition

    (översiktligt).

    • För

  • Derivatanatt beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt $P$, tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt $Q$ i närheten av $x$,P$ och bildar ändringskvoten mellan $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$P$ och $Q$:

    $$ \tanfrac{\Delta x$y}{\Delta x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

    Om vi låter $Q$ närma sig $P$ (dvs. låter $h \to 0$) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten $P$.

  • DerivataVi kallar detta värde för derivatan av summa och differens.
  • Tangent och normal till kurvor.
  • Lärandemål:
  • Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
  • Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y = f(x)$ i punkten $xP$, =vilket a$.
    • kan
  • Förstå derivatantolkas som den momentana ändringstaktenförändringsgraden av $f(x)$ i punkten $P$.

    Derivatan av en storhetfunktion $f(x)$ betecknas $f'(x)$ och kan formellt definieras så här:

    $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

    Olika symboler för derivatan:

    FunktionDerivata
    $f(x)$$f'(x)$
    $y$$y'$
    $y$$\frac{dy}{dx}$
    $s(t)$$s'(t)$

    Derivatans tecken

    • $f'(x) > 0$ (t.ex.positiv fart,lutning) prisökning).
      • →
    • Veta att det finns funktioner som inte$f(x)$ är deriverbaraväxande.
    • $f'(x) < 0$ (t.ex.negativ lutning) → $f(x)$ är avtagande.
    • $f'(x) = 0$ → $f(x)$ är stationär (horisontell tangent).

    Exempel 3

    $f(2) = 3$ betyder att funktionens värde är 3 när $x = 2$.
    $f'(2) = 3$ betyder att derivatan är 3 när $x = 2$, alltså att grafens lutning där är 3.

    Exempel 4

    I figuren kan man utläsa att $f(a)' = 0$, $f(b)' = 0$ ... $f(g)' = 0$.

    Exempel 5

    Temperaturen i en termos beskrivs av funktionen $T(t)$, där $t$ är minuter:

    • $T(10) = 80$ → efter 10 minuter är temperaturen 80°
    • $T'(2) = -3$ → temperaturen sjunker med 3°/min vid $t=2$

    Exempel 6

    Funktionen $f(x) = |x|$ isaknar derivata vid $x = 0$). Grafen har ett hörn där.

    Deriveringsregler

    Om $f(x) = x^2$:

    $$ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h $$

    När $h \to 0$ får vi att derivatan är $2x$.

    Standardderivator

    • $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
    • Kunna derivera $x$, $\frac{d}{dx}(\ln x$,x) = \frac{1}{x}$
    • $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$,
    • $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$,
    • $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$,
    • $\frac{d}{dx}(\tan x$x) samt= summor/differenser.\frac{1}{\cos^2 x}$
    • Kunna

    Exempel bestämma7–13 tangent(utdrag i samma stil)

    Varje exempel visas med funktion och normaldess tillderivata.

    kurvan

    Exempel 14

    Kurvan $y = f(x)$.

    • 2e^x
  • Veta- att3x$ derivatanhar kanen betecknastangent med riktningskoefficient $-1$. Vi hittar tangenten:

    Derivatan: $f'(x) = 2e^x - 3$.
    Sätt $f'(x) = -1$:

    $$ och2e^x - 3 = -1 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0 $\frac{df}{dx}(x)$.

Vid

Inledning

$x

När= man0$: studerar$f(0) matematiska= funktioner2e^0 och- deras3\cdot grafer0 = 2$, alltså tangeringspunkten är ett$(0, av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.2)$.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad

Back to top