1.1 Inledning till derivata

Derivatans definition

För att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt $P$, tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt $Q$ i närheten av $P$ och bildar ändringskvoten mellan $P$ och $Q$:

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

Om vi låter $Q$ närma sig $P$ (dvs. låter $h \to 0$) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten $P$. Vi kallar detta värde för derivatan av $f(x)$ i punkten $P$, vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av $f(x)$ i punkten $P$.

Derivatan av en funktion $f(x)$ betecknas $f'(x)$ och kan formellt definieras så här:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

Olika symboler för derivatan:

Funktion	Derivata
$f(x)$	$f'(x)$
$y$	$y'$
$y$	$\frac{dy}{dx}$
$s(t)$	$s'(t)$

Derivatans tecken

$f'(x) > 0$ (positiv lutning) → $f(x)$ är växande.
$f'(x) < 0$ (negativ lutning) → $f(x)$ är avtagande.
$f'(x) = 0$ → $f(x)$ är stationär (horisontell tangent).

Exempel 3

$f(2) = 3$ betyder att funktionens värde är 3 när $x = 2$.
$f'(2) = 3$ betyder att derivatan är 3 när $x = 2$, alltså att grafens lutning där är 3.

Exempel 4

I figuren kan man utläsa att $f(a)' = 0$, $f(b)' = 0$ ... $f(g)' = 0$.

Exempel 5

Temperaturen i en termos beskrivs av funktionen $T(t)$, där $t$ är minuter:

$T(10) = 80$ → efter 10 minuter är temperaturen 80°
$T'(2) = -3$ → temperaturen sjunker med 3°/min vid $t=2$

Exempel 6

Funktionen $f(x) = |x|$ saknar derivata vid $x = 0$. Grafen har ett hörn där.

Deriveringsregler

Om $f(x) = x^2$:

$$ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h $$

När $h \to 0$ får vi att derivatan är $2x$.

Standardderivator

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$
$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

Exempel 7–13 (utdrag i samma stil)

Varje exempel visas med funktion och dess derivata.

Exempel 14

Kurvan $y = 2e^x - 3x$ har en tangent med riktningskoefficient $-1$. Vi hittar tangenten:

Derivatan: $f'(x) = 2e^x - 3$.
Sätt $f'(x) = -1$:

$$ 2e^x - 3 = -1 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0 $$

Vid $x = 0$: $f(0) = 2e^0 - 3\cdot 0 = 2$, alltså tangeringspunkten är $(0, 2)$.