1.1 Inledning till derivata
Innehåll:
- Derivatans definition (översiktligt).
- Derivatan av $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ och $\tan x$.
- Derivata av summa och differens.
- Tangent och normal till kurvor.
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y = f(x)$ i punkten $x = a$.
- Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
- Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. $f(x) = |x|$ i $x = 0$).
- Kunna derivera $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$, $\tan x$ samt summor/differenser av sådana termer.
- Kunna bestämma tangent och normal till kurvan $y = f(x)$.
- Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)$ och $\frac{df}{dx}(x)$.
Inledning
När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.
Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde $y$ ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet $x$.
Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten:
$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{skillnad i } y\text{-led}}{\text{skillnad i } x\text{-led}} $$