Skip to main content

1.1 Inledning till derivata

Innehåll:
  • Derivatans definition (översiktligt).
  • Derivatan av x, ln x, ex, cos x, sin x och tan x.
  • Derivata av summa och differens.
  • Tangent och normal till kurvor.
Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå derivatan \\( $f'(a) \\)$ som lutningen av kurvan \\( $y = f(x) \\)$ i punkten \\( $x = a \\)a$.
  • Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
  • Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. \\( $f(x) = |x| \\)$ i \\( $x = 0 \\)0$).
  • Kunna derivera \\( x \\)$x$, \\( \$\ln x \\)x$, \\( $e^x \\)x$, \\( \$\cos x \\)x$, \\( \$\sin x \\)x$, \\( \$\tan x \\)x$ samt summor/differenser av sådana termer.
  • Kunna bestämma tangent och normal till kurvan \\( $y = f(x) \\)$.
  • Veta att derivatan kan betecknas med \\( $f'(x) \\)$ och \\( \$\frac{df}{dx}(x) \\)$.

Inledning

När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde \\( y \\)$y$ ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet \\( x \\)$x$.

Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten:

\\[$$ \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{\\text{skillnad i } y\\text{-led}}{\\text{skillnad i } x\\text{-led}} \\]$$
Back to top