1.1 Inledning till derivata

Innehåll:

Derivatans definition (översiktligt).
Derivatan av x, ln x, e^x, cos x, sin x och tan x.
Derivata av summa och differens.
Tangent och normal till kurvor.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Förstå derivatan \\( f'(a) \\) som lutningen av kurvan \\( y = f(x) \\) i punkten \\( x = a \\).
Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. \\( f(x) = |x| \\) i \\( x = 0 \\)).
Kunna derivera \\( x \\), \\( \\ln x \\), \\( e^x \\), \\( \\cos x \\), \\( \\sin x \\), \\( \\tan x \\) samt summor/differenser av sådana termer.
Kunna bestämma tangent och normal till kurvan \\( y = f(x) \\).
Veta att derivatan kan betecknas med \\( f'(x) \\) och \\( \\frac{df}{dx}(x) \\).

Inledning

När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde \\( y \\) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet \\( x \\).

Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten:

\\[ \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\frac{\\text{skillnad i } y\\text{-led}}{\\text{skillnad i } x\\text{-led}} \\]