New Page

Innehåll:

Derivatans definition (översiktligt).
Derivatan av x, ln x, e^x, cos x, sin x och tan x.
Derivata av summa och differens.
Tangent och normal till kurvor.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Förstå derivatan \( f'(a) \) som lutningen av kurvan \( y = f(x) \) i punkten \( x = a \).
Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. \( f(x) = |x| \) i \( x = 0 \)).
Kunna derivera \( x \), \( \ln x \), \( e^x \), \( \cos x \), \( \sin x \) och \( \tan x \) samt summor/differenser av sådana termer.
Kunna bestämma tangent och normal till kurvan \( y = f(x) \).
Veta att derivatan kan betecknas med \( f'(x) \) och \( \frac{df}{dx}(x) \).

Inledning

När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde \( y \) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet \( x \).

Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten:

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \]

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\text{skillnad i } y\text{-led}}{\text{skillnad i } x\text{-led}} \]