New Page

# 1.1 Inledning till derivata

> **Innehåll:**
> • Derivatans definition (översiktligt)
> • Derivatan av $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ och $\tan x$
> • Derivata av summa och differens
> • Tangent och normal till kurvor

<br>

> **Lärandemål:**
> Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
> • Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y = f(x)$ i punkten $x = a$
> • Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.)
> • Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. $f(x) = |x|$ i $x = 0$)
> • Kunna derivera $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ och $\tan x$ samt summor/differenser av sådana termer
> • Kunna bestämma tangent och normal till kurvan $y = f(x)$
> • Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)$ och $\frac{df}{dx}(x)$

---

## Inledning

När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet **förändringsgrad** (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde ($y$) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet ($x$).

Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten:

$$
 \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
 $$