New Page

# 1.1 Inledning till derivata ## 📘 Innehåll - Derivatans definition (översiktligt) - Derivatan av $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$ och $\tan x$ - Derivata av summa och differens - Tangent och normal till kurvor --- ## 🎯 Lärandemål Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: - Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y = f(x)$ i punkten $x = a$. - Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (t.ex. fart, prisökning). - Veta att vissadet finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. $f(x) = |x|$ i $x = 0$). - Kunna derivera funktioner som $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$, och $\tan x$. samt summor/differenser av sådana termer. - BestäKunna bestämma tangent och normal till kurvan $y = f(x)$. - Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)$ elleroch $\frac{df}{dx}(x)$. --- ## 📚 Inledning När man studerar funktionersmatematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena **studiet av en funktions förändringndring** analyserar– mandet vill säga om en funktionfunktionen ökar eller minskarminskar, och i vilken takt.takt Dettadetta uttryckssker. viaMan använder sig här av begreppet **förändringskvot*ndringsgrad** (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde ($y$) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet ($x$). Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad genom att beräkna **ändringskvoten**: > $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$ --- ##Vill 🧪du att jag fortsätter med **Exempel 1 Funktionerna $f(x) = x$1** och $g(x)resten =av -2x$avsnittet har konstant förändringsgrad: - $f(x)$: lutning = 1 - $g(x)$: lutning = -2

Klicka för att visa bilder

**Graf f(x) = x:**  **Graf g(x) = -2x:** 

--- ## 🧪 Exempel 2 Funktion: $f(x) = 4x - x^2$ - $f(1) = 3$, $f(2) = 4$, $f(4) = 0$ **Medelförändring:** - Från $x = 1$ till $x = 2$: $$ \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1 \quad \text{(funktionen växer)} $$ - Från $x = 2$ till $x = 4$: $$ \frac{0 - 4}{4 - 2} = -2 \quad \text{(funktionen avtar)} $$ - Från $x = 1$ till $x = 4$: $$ \frac{0 - 3}{4 - 1} = -1 \quad \text{(funktionen ärnu i genomsnittsamma avtagande)}stil? $$​:contentReference[oaicite:0]{index=0}​

Klicka för att visa bilder

**Från $x = 1$ till $x = 2$ – lutning 1:**  **Från $x = 1$ till $x = 4$ – lutning -1:**