New Page

# 1.1 Inledning till derivata ## 🎯 Lärandemål Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: - Förstå derivatan \( $f'(a) \)$ som lutningen av kurvan \( $y = f(x) \)$ i punkten \( $x = a \)a$. - Förstå derivatan som den momentana ändringstakten (t.ex. fart, prisökning). - Veta att vissa funktioner inte är deriverbara (t.ex. \( $f(x) = |x| \)$ i \( $x = 0 \)0$). - Kunna derivera funktioner som \($x$, x, $\ln x,x$, $e^x,x$, $\cos x,x$, $\sin x,x$, $\tan x \)x$. - Bestämma tangent och normal till kurvan \( $y = f(x) \)$. - Veta att derivatan kan betecknas med \( $f'(x) \)$ eller \( $\frac{df}{dx}(x) \)$. --- ## 📚 Inledning När man studerar funktioners förändring analyserar man om en funktion ökar eller minskar och i vilken takt. Detta uttrycks via **förändringsgrad:ndringskvot**: > **Förändringskvot:** > \($$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \)$$ --- ## 🧪 Exempel 1 Funktionerna \( $f(x) = x \)x$ och \( $g(x) = -2x \)2x$ har konstant förändringsgrad: - \( $f(x) \)$: lutning = 1 - \( $g(x) \)$: lutning = -2

VisaKlicka för att visa bilder

**Graf f(x) = x:**  **Graf g(x) = -2x:** 

--- ## 🧪 Exempel 2 Funktion: \( $f(x) = 4x - x^2 \)2$ - \( $f(1) = 3 \)3$, \( $f(2) = 4 \)4$, \( $f(4) = 0 \)0$ **Medelförändring:** - Från \( $x = 1 \)1$ till \( $x = 2 \)2$: \($$ \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1 \)quad \text{(funktionen växer)} $$ - Från \( $x = 2 \)2$ till \( $x = 4 \)4$: \($$ \frac{0 - 4}{4 - 2} = -2 \)quad \text{(funktionen avtar)} $$ - Från \( $x = 1 \)1$ till \( $x = 4 \)4$: \($$ \frac{0 - 3}{4 - 1} = -1 \)quad \text{(funktionen är i genomsnitt avtagande)} $$

VisaKlicka för att visa bilder

**Från $x = 1$ till $x = 2$ – lutning 1:**  **Från $x = 1$ till $x = 4$ – lutning -1:**