New Page

# 1.1 Inledning till derivata ## 🎯 Lärandemål Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: - Förstå derivatan $f'(a)$ som lutningen av kurvan $y = f(x)$ i punkten $x = a$. - Förstå derivatan som den momentana ändringstakten (t.ex. fart, prisökning). - Veta att vissa funktioner inte är deriverbara (t.ex. $f(x) = |x|$ i $x = 0$). - Kunna derivera funktioner som $x$, $\ln x$, $e^x$, $\cos x$, $\sin x$, $\tan x$. - Bestämma tangent och normal till kurvan $y = f(x)$. - Veta att derivatan kan betecknas med $f'(x)$ eller $\frac{df}{dx}(x)$. --- ## 📚 Inledning När man studerar funktioners förändring analyserar man om en funktion ökar eller minskar och i vilken takt. Detta uttrycks via **förändringskvot**: > $$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} $$ --- ## 🧪 Exempel 1 Funktionerna $f(x) = x$ och $g(x) = -2x$ har konstant förändringsgrad: - $f(x)$: lutning = 1 - $g(x)$: lutning = -2

Klicka för att visa bilder

**Graf f(x) = x:**  **Graf g(x) = -2x:** 

--- ## 🧪 Exempel 2 Funktion: $f(x) = 4x - x^2$ - $f(1) = 3$, $f(2) = 4$, $f(4) = 0$ **Medelförändring:** - Från $x = 1$ till $x = 2$: $$ \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1 \quad \text{(funktionen växer)} $$ - Från $x = 2$ till $x = 4$: $$ \frac{0 - 4}{4 - 2} = -2 \quad \text{(funktionen avtar)} $$ - Från $x = 1$ till $x = 4$: $$ \frac{0 - 3}{4 - 1} = -1 \quad \text{(funktionen är i genomsnitt avtagande)} $$

Klicka för att visa bilder

**Från $x = 1$ till $x = 2$ – lutning 1:**  **Från $x = 1$ till $x = 4$ – lutning -1:**