New Page

b)

#

$$1.1 Inledning till derivata ## 🎯 Lärandemål Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: - Förstå derivatan \int_{0}^{1}( f'(a) \) som lutningen av kurvan \( y = f(x) \) i punkten \( x = a \). - Förstå derivatan som den momentana ändringstakten (t.ex. fart, prisökning). - Veta att vissa funktioner inte är deriverbara (t.ex. \( f(x) = |x| \) i \( x = 0 \)). - Kunna derivera funktioner som \( x, \ln x, e^x, \cos x, \sin x, \tan x \). - Bestämma tangent och normal till kurvan \( y = f(x) \). - Veta att derivatan kan betecknas med \( f'(x) \) eller \( \frac{df}{dx}(x) \). --- ## 📚 Inledning När man studerar funktioners förändring analyserar man om en funktion ökar eller minskar och i vilken takt. Detta uttrycks via förändringsgrad: > **Förändringskvot:** > \( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \) --- ## 🧪 Exempel 1 Funktionerna \( f(x) = x \) och \( g(x) = -2x +\) 1)har konstant förändringsgrad: - \,( dx$$f(x) \): lutning = 1 - \( g(x) \): lutning = -2

Visa svar bbilder

Svar:   

$$\int_{0}^{1}--- (2x## +🧪 1)Exempel 2 Funktion: \,( dxf(x) = [4x - x^2 +\) x]_0^1- \( f(1) = 3 \), \( f(2) = 4 \), \( f(4) = 0 \) **Medelförändring:** - Från \( x = 1 +\) till \( x = 2 \): \( \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1 \) (funktionen växer) - Från \( x = 2 \boxed{) till \( x = 4 \): \( \frac{0 - 4}{4 - 2}$$ = -2 \) (funktionen avtar) - Från \( x = 1 \) till \( x = 4 \): \( \frac{0 - 3}{4 - 1} = -1 \)

Visa bilder

Visualisering: